数学公式与错题

这里放我反复翻的公式、易错点、解题套路。

公式速查

二次函数

  • 顶点式: y = a(x - h)² + k
  • 对称轴: x = h
  • 顶点: (h, k)
  • 判别式: Δ = b² - 4ac (Δ > 0 两根,= 0 一根,< 0 无实根)
  • 韦达定理: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a

三角函数

  • sin²α + cos²α = 1
  • sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
  • cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
  • tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα·tanβ)
  • 特殊角: 0°/30°/45°/60°/90° 的 sin/cos/tan 值

一次/反比例函数

  • 一次: y = kx + b (k 是斜率, b 是截距)
  • 反比例: y = k/x (双曲线, k ≠ 0)

几何

  • 勾股: a² + b² = c² (直角三角形)
  • 三角面积: S = ½·a·b·sinC
  • 圆周长: C = 2πr
  • 圆面积: S = πr²
  • 弧长: l = nπr/180 (n 是圆心角度数)

易错点

  • 二次函数开口方向忘记看 a 的符号 → 答案反了
  • 韦达定理漏掉"判别式 ≥ 0"前提 → 多出无意义解
  • 三角形题忘记分类讨论 → 漏解
  • 单位不统一 → 把 cm 当 m, g 当 kg
  • 百分数忘记转小数 (20% = 0.2,不是 20)
  • 平方根有两个(±√x),只写一个

典型例题

例 1: 二次函数最值

y = 2x² - 8x + 3,求最值。

解法: 配方

y = 2(x² - 4x) + 3
  = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3
  = 2(x - 2)² - 8 + 3
  = 2(x - 2)² - 5

顶点 (2, -5),最小值 -5(a > 0 开口向上)。

例 2: 韦达定理

已知 x² - 5x + k = 0 两根之积为 2,求 k。

解法: x₁ · x₂ = c/a = k/1 = k = 2

注意: 还要验证判别式 Δ = 25 - 8 = 17 > 0 ✓

例 3: 动点问题

直角三角形 ABC 中, ∠C = 90°, AC = 3, BC = 4, P 在 AC 上从 A 向 C 移动,设 AP = x,求 BP 的最小值。

解法:

  • 固定边: AB = 5 (勾股)
  • BP 是动点 P 到 B 的距离
  • 当 BP ⊥ AC 时, BP 最短
  • BP_min = AC · BC / AB = 3·4/5 = 12/5 = 2.4

套路: “动点到定点距离最小” → 垂线段最短

例 4: 利润问题

某商品进价 40 元,售价 60 元时卖 100 件,每降价 1 元多卖 10 件。问售价多少时利润最大?

解法:

  • 设降价 x 元
  • 单件利润 = (60 - x) - 40 = 20 - x
  • 销量 = 100 + 10x
  • 总利润 W = (20 - x)(100 + 10x) = -10x² + 100x + 2000
  • 配方: W = -10(x - 5)² + 2250
  • 当 x = 5 时,W 最大 = 2250 元
  • 此时售价 = 60 - 5 = 55 元

错题归档

每次错题本记三件事:

  1. 题:题目截图或简短描述
  2. 错因:是哪类错误(概念/计算/审题/方法)
  3. 正解:用红笔写正解,只写关键步骤

解题套路

题型 第一步
二次函数 配方 → 看顶点
动点最值 找定直线 → 画垂线
几何证明 标已知 → 找全等/相似
应用题 找等量关系 → 列方程
概率 列表/画树状图 → 数结果
函数图像 列表 → 描点 → 连线